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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
Hallar la preimagen $T^{-1}(M)$ del conjunto $M$ por la transformación lineal $T$. Interpretar geométricamente.
d) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(2,-1,3)\}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$.
d) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; T(\vec{v})=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)\cdot \vec{v}$, para: (i) $M=\{(2,-1,3)\}$ (ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$.
Respuesta
(i) $M=\{(2,-1,3)\}$
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Ahora estamos buscando los vectores de la forma $(x_1,x_2,x_3)$ que verifican que:
$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$A diferencia de los anteriores, el sistema que tenemos que resolver para encarar esta ecuación matricial ya no es taaan directo, ni siquiera está escalonado. Asi que mejor primero escalonamos y nos armamos el sistema equivalente escalonado:
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{array}\right)$
$F_3 - F_1 \Rightarrow F_3$
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$
$F_3 + F_2 \Rightarrow F_3$
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}\right)$
Ahora si! De acá tenemos el sistema equivalente escalonado y es muuucho más fácil despejar $x_1$, $x_2$ y $x_3$. A mi me quedaron estos: $x_1 = $, $x_2 = 1$, $x_3 = 0$
Con lo cual, $T^{-1}(M) = \{(1,1,0)\}$
(ii) $M=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$
Este es un poco más cuentoso que los que venimos resolviendo. Igual, si te sirve para estar más tranqui, ya varios de este Ejercicio eran más difíciles de los que suelen aparecer en los parciales por UBA XXI... así que este ni te cuento jejeje... miralo sólo si venis entendiendo muuuuuy bien todo lo que fuimos haciendo en los anteriores, sino ni te enrrosques.
Primero, pasamos $M$ a generadores, a mí me quedó asi (despejando $x_3$)
$M = \langle (1,0,-1), (0,1,-1) \rangle$
Entonces, como a cualquier elemento de $M$ lo podemos escribir como una combinación lineal de estos dos, los vectores que pertenecen a $M$ son de la forma...
$a(1, 0, -1) + b(0, 1, -1) = (a, b, -a-b)$ con $a,b \in \mathbb{R}$
Entonces, los vectores que estamos buscando son los que cumplen esta ecuación matricial:
$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ -a-b \end{pmatrix}$
De nuevo, un sistema que no es directo de despejar ni está escalonado, vamos primero a escalonar y nos armamos el sistema equivalente escalonado:
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & a \\ 0 & -1 & 1 & b \\ 1 & 2 & 3 & -a-b \end{array}\right)$
$F_3 - F_1 \Rightarrow F_3$
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & a \\ 0 & -1 & 1 & b \\ 0 & 1 & 3 & -2a-b \end{array}\right)$
$F_3 + F_2 \Rightarrow F_3$
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & a \\ 0 & -1 & 1 & b \\ 0 & 0 & 4 & -2a \end{array}\right)$
De acá obtenemos que... $x_1 = \frac{3}{2}a + b$, $x_2 = -\frac{1}{2}a - b$ y $x_3 = -\frac{1}{2}a$
Es decir, los vectores $(x_1,x_2,x_3)$ que estamos buscando son tooodos estos...
$(x_1,x_2,x_3) = \left(\frac{3}{2}a + b, -\frac{1}{2}a - b, -\frac{1}{2}a\right)$, con $a, b \in \mathbb{R}$
...que fijate que lo podemos reescribir así:
$= a \cdot \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) + b \cdot (1, -1, 0)$
Por lo tanto, son todos los vectores que pertenecen a este subespacio ->
$\left\langle \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right), (1, -1, 0) \right\rangle$
Aclaración: En vez del primer generador, para que no nos queden fracciones (un detalle estético jejeje) podemos usar el $(3,-1,-1)$ como generador, y otra forma de escribir a este subespacio es $\langle (3,-1,-1), (1,-1,0) \rangle$
Aclaración 2: La respuesta que aparece en la guía "luce diferente"... ¿por qué no me preocupa eso?
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